Что такое алгебра и как её понять, основная история и теория по алгебре

18.08 Раздел: Пресс-релизы

Алгебра - один из самых фундаментальных разделов математики, занимающийся решением уравнений, арифметическими операциями и в целом математическими структурами, лежащими в основе этих операций. В этой статье мы кратко представим эту подобласть.

 

Ещё древние греки изучали алгебраические уравнения. Однако, в отличие от вавилонян и египтян, их интересовало не только решение практических задач. В частности, они считали геометрические вопросы центральной частью своей философии. Это было началом алгебры, геометрии и математики как науки в целом.

Для греков стороны (в основном линии) геометрических объектов представляли собой члены алгебраических уравнений, которые, используя методы построения с помощью циркуля и линейки, определяли соответствующие решения. Поскольку древнегреческая алгебра была основана на геометрии, она называется геометрической алгеброй.

Одним из важнейших греческих математиков был Евклид Александрийский. Второй том написанных им элементов содержит ряд алгебраических утверждений, сформулированных на языке геометрии. Среди прочего, Евклид обсуждал теорию нанесения поверхности в элементах, которая восходит к древним пифагорейцам. С помощью этого метода можно решить некоторые линейные и квадратные уравнения с неопределенным с точки зрения современной алгебры.

В десятой книге стихий Евклид привел доказательства иррациональности. Иррациональные пропорции были уже известны пифагорейцам. Они также доказали вышеупомянутую теорему Евклида в более общей форме.

Диофант Александрийский, который, вероятно, жил примерно в 250 году нашей эры, считается важнейшим алгебраистом античности. Его первая и самая важная работа, « Арифметика» , первоначально состояла из тринадцати отдельных книг, из которых сохранились только шесть. Этой работой он полностью заменил известные тогда арифметику и алгебру из геометрии.

Алгебра и другие предметы

Соединение геометрии и алгебры с так называемой аналитической геометрией было одним из величайших достижений математики. Это дает возможность вычислительного решения многих геометрических задач. Отправной точкой является декартова система координат Рене Декарта , названная. Рене Декарт (1596 - 1650) был рядом с Пьером де Ферма (1607 - 1665), одним из основоположников аналитической геометрии. В декартовой системе координат точки на плоскости или в пространстве выражаются числами, что дает возможность алгебраического описания геометрических фигур. Так составляется уравнение круг вокруг начала координат с радиусом описано. уравнение представляет собой прямую, проходящую через нулевую точку с наклоном представлять.

Алгебраическое описание позволяет решать геометрические задачи с помощью определенных вычислений. Например, если вы возьмете пересечение круга с прямой линией. Чтобы произвести расчет, вам необходимо найти решения следующей системы уравнений. Алгебра записывает и исследует геометрические структуры с помощью алгебраических инструментов, благодаря чему введение системы координат стало отправной точкой этой новой теории. На сегодняшний день использование компьютера в геометрии возможно только благодаря аналитической геометрии.

Темы на которые делится Алгебра

  • Элементарная алгебра: элементарная алгебра - это алгебра в смысле школьной математики. Он включает правила вычисления натуральных, целых, дробных и действительных чисел. Она также исследует использование выражений, содержащих переменные, и находит способы решения простых алгебраических задач, таких как решение квадратных уравнений.
  • Классическая алгебра: классическая алгебра занимается решением общих алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Его центральный результат - основная теорема алгебры. Это говорит о том, что каждый непостоянный многочлен -я степень в Линейные множители можно разложить с помощью комплексных коэффициентов.
  • Линейная алгебра: линейная алгебра имеет дело с векторными пространствами и линейными отображениями между ними. Векторные пространства - это обобщения известных со школы векторных пространств. . Это, в частности, включает рассмотрение линейных систем уравнений и матриц. Векторные пространства называются евклидовыми векторными пространствами или координатными пространствами . Линейная алгебра также является основой аналитической геометрии. Это раздел геометрии, который предоставляет алгебраические инструменты (особенно из линейной алгебры) для решения геометрических задач. Во многих случаях это позволяет решать геометрические задачи чисто арифметически без использования визуализации в качестве вспомогательного средства.
  • Абстрактная алгебра: Абстрактная алгебра - основная дисциплина современной математики. Она имеет дело с алгебраическими структурами, такими как группы, кольца, тела и т. Д. При этом она исследует их свойства и отображения, существующие между этими структурами. Структуры, изучаемые в абстрактной алгебре, появляются во многих разделах математики. Абстрактная алгебра объединяет множество математических теорий и имеет множество приложений.

Что такое алгебра и как её изучать в школе сегодня

Определение математической алгебры подобластей неясно, и соответствующие области часто сильно различаются в алгебре но хорошо всё написано здесь - algebra.

Первоначально алгебра понималась как решение и преобразование уравнений путем вычисления с помощью символов. Это также очевидно в происхождении названия «алгебра». Арабское слово <аль-Кабр> означает «выпрямление сломанных костей». В математике алгебра в определенной степени означает «набор математических терминов». Дело в том, чтобы найти решения для неизвестных условий. В отличие от анализа, в алгебре нет формирования предельных значений - уравнения всегда должны решаться точно за конечное число шагов вычисления, а не, например, путем разложения в ряд или приближения.

Если уравнения линейны, это называется линейной алгеброй; В принципе, любое количество линейных уравнений с любым количеством переменных можно решить методом исключения. Если уравнения не линейны, это уже не так просто. Линейные и квадратные уравнения с одной переменной изучались еще в древности (сначала вавилоняне). Сегодня вы научитесь решать эти уравнения в школе. Соответствующие общие формулы для уравнений третьей и четвертой степени были найдены в Италии в 16 веке. Поиск формул решения уравнений 5-й степени долгое время не приносил результатов. В 1824 году Абель окончательно доказал, основываясь на неполном доказательстве Руффини, что формулы замкнутого решения не существуют. Доказательство этого удивительного утверждения стало важной вехой в истории математики. В последующие десятилетия теория получила дальнейшее развитие, в том числе Эварист Галуа, что также прояснило принципы, лежащие в основе теоремы Абеля-Руффини. Отсюда под влиянием Артур Кэли и других возникла теория групп, а вместе с ней и абстрактная алгебра как структурная теория.

Систематическое изучение структур - важная черта современной математики. Сегодня в первом семестре вы узнаете, что такое тела, векторные пространства и группы, и почувствуете абстрактный подход к теории решений уравнений и другим вопросам. С другой стороны, чистая структурная теория кажется несколько сухой и немотивированной, если она не представлена ​​вместе с некоторыми конкретными вопросами, из которых она возникла. Помимо вопросов самой алгебры, таких как теория решения алгебраических уравнений, прежде всего вопросы геометрии и теории чисел.

Алгебра развивалась, в частности, из-за необходимости развития теории решения уравнений и систем уравнений. Возьмем простое уравнение . Сразу понимаем, что это для доволен. Это правильное решение?

Решение для применяется только в том случае, если мы работаем в достаточно «большом» диапазоне чисел. Рациональные числа или реальные числа включить, например, решение . Однако давайте поработаем в числовом диапазоне натуральных чисел. или в диапазоне чисел целых чисел , то указанное выше уравнение не имеет решения. Таким образом, в алгебре мы также имеем дело с диапазонами чисел и их структурой. Типичные диапазоны номеров представлены следующей цепочкой подмножеств:

Алгебра исследует структуру этих диапазонов чисел. Для чисел характерно то, что на них можно рассчитывать. Арифметическая операция - это комбинация двух чисел, которая возвращает новое число в качестве результата. Одним из таких звеньев является сложение, которое определено во всех наборах цепочки подмножеств выше. Возьмем для примера диапазон чисел целых чисел. Здесь справедливо уравнение для есть решение. Однако в натуральных числах не это решение, потому что там нет отрицательных чисел.

Линейная алгебра занимается математической структурой векторного пространства. Это было создано посредством абстракции описательного вычисления вектора, как его учат в школе. Так называемые линейные отображения между двумя идентичными векторными пространствами играют важную роль в исследовании векторных пространств. Эти линейные отображения можно просто и понятно описать с помощью матриц. Следовательно, матричное вычисление - это формализм для "вычисления" с линейными отображениями. Развитие линейной алгебры было мотивировано, среди прочего, потребностью в теории решений для систем линейных уравнений. Решение линейных систем уравнений восходит к решению матричных уравнений.

Приложения алгебры

Алгебра имеет множество применений в математике. Многомерный анализ нуждается в линейной алгебре в качестве основы, поскольку он анализирует отображения между векторными пространствами аналитически. В линейных системах расчет также часто бывает проще. Примером этого являются системы линейных дифференциальных уравнений.

Существуют также примеры применения за пределами математики: Расчет вращательных движений не может выполняться без вычисления вектора и без использования матриц (например, для момента инерции ). В квантовой механике использует линейную алгебру в качестве основы для описания квантово - механических систем.

В электротехнике для описания электрических и магнитных полей уравнениями Максвелла необходима линейная алгебра вместе с многомерным анализом . Операторы типа градиента в криволинейных координатах немыслимы без линейной алгебры.

Комплексные числа, необходимые в теории переменного тока, также можно использовать как двумерное векторное пространство.

Университеты изучают методы линейной алгебры. Например, если для разных конечных продуктов требуется разное сырье, можно спросить, сколько конечных продуктов можно произвести с заданным количеством сырья. Этот вопрос решается методами линейной алгебры.

Комментарии пользователей:

Если вы не зарегистрированы или не авторизованы на сайте, то вы не можете оставлять комментарии.

Читайте также

Потолок играет очень важную роль в интерьере или дизайне любого жилого помещения. Навесные потолки придают шик и дорогой вид, а также позволяют скрыть многие недостатки и нервности.

Читать дальше

В магазинах продается большое количество разных маникюрных столов. Они помогают обеспечить требования мастеров. Невозможно будет сделать по-настоящему хороший, качественный и прекрасный маникюр, если нет специального стола. У мастера должно быть всё под рукой, чтобы ему было комфортно. Важно правильно выбрать стол для маникюра, чтобы были удовлетворены потребности специалиста. 

Читать дальше

Появившись в 80-х годах прошлого века в Японии, караоке быстро распространилось по всему миру. Сегодня это одно из самых популярных развлечений в России. Но японская культура караоке немного отличается от того, к чему мы привыкли.

Читать дальше